Por qué una caída del 30% necesita una subida del 43%

Baja 30, sube 30 y sigues perdiendo

Empieza con 100. Quítale un 30% y tienes 70. Añádele ahora un 30%: 70 × 1,3 = 91. Has aplicado el mismo número dos veces, una en cada dirección, y has acabado un 9% por debajo de donde empezaste.

No es una curiosidad de redondeo. Es la razón de que una cartera que se ha partido por la mitad necesite duplicarse, de que una subida de precios del 25% no reste un 25% al valor de tu dinero, y de que quitar el IVA de un precio sea una división y no una resta. Un mismo hecho aritmético debajo de los tres.

La base se mueve bajo tus pies

Un porcentaje nunca es una cantidad por sí solo. Es una cantidad dividida por aquello sobre lo que estabas apoyado al medirla. El primer 30% era el 30% de 100, así que valía 30. El segundo era el 30% de 70, así que valía 21. Entre esas dos frases se han perdido nueve puntos del original, y esos nueve son toda la historia.

Por eso las variaciones porcentuales no se suman: se multiplican. 0,7 × 1,3 = 0,91. Encadena los movimientos que quieras y solo cuenta el producto, lo que implica además que el orden es indiferente: una caída del 30% seguida de una subida del 30% aterriza exactamente donde lo hace una subida del 30% seguida de una caída del 30%.

Para volver al punto de partida después de perder una fracción d de tu dinero necesitas una subida de d ÷ (1 − d). Pierde un 30% y sale 0,3 ÷ 0,7 = 42,9%. La fórmula es pequeña; la forma que describe no es nada suave.

Hasta un 20% la intuición es casi inofensiva: perder un 20% exige un 25%, y cinco puntos de diferencia no alarman a nadie. Pasado el 50% la curva se va de la habitación. Una pérdida del 70% pide un 233%, y una del 90% pide un 900%. La asimetría no es una cuestión de grado: cambia lo que significa recuperarse.

Donde cuesta dinero: promediar a la baja

Supón que tienes 100 acciones compradas a 100 cada una. Coste 10.000, precio medio 100. La acción cotiza ahora a 70, así que pierdes 3.000: un 30%, y necesitas un 42,9% para volver a tu precio de entrada.

La reacción habitual es comprar más a 70 para tirar la media hacia abajo. Funciona, y merece la pena ver cuánto antes de hacerlo. Para mover tu media desde 100 hasta un objetivo comprando a 70, las acciones que necesitas son títulos × (media − objetivo) ÷ (objetivo − 70).

Recortar los primeros cinco puntos de tu media cuesta 1.400. Llegar a 75 — que todavía está por encima del precio actual — cuesta 35.000, tres veces y media la posición original. Y comprando a 70 la media nunca bajará a 70 ni por debajo: el denominador objetivo − 70 tiende a cero y la cantidad necesaria se dispara.

Es la misma asimetría con otra ropa. Promediar a la baja no repara la pérdida: agranda la posición que tiene que recuperarse. Si eso es un buen negocio depende por completo de cuánto crees que vale el activo, y ese juicio no lo hace ninguna calculadora por ti.

La inflación se come menos de lo que dice el titular

Los precios de consumo en Estados Unidos subieron un 24,4% entre 2020 y 2025. Casi todo el mundo lee eso como que se ha ido un cuarto de sus ahorros. No es así: la pérdida de poder de compra es 1 − 1 ÷ 1,244 = 19,6%. Los precios subieron un 24,4% del nivel antiguo; tu dinero perdió un 19,6% de su valor antiguo. Dos bases distintas, dos números distintos, los dos correctos.

La brecha se ensancha cuanto más atrás mires, porque los cocientes se acumulan multiplicándose y los porcentajes sobre el importe inicial no.

En treinta años los precios han hecho algo más que duplicarse — un 111,3% — mientras el efectivo guardado en casa perdía un 52,7% de lo que podía comprar. Fíjate en que no puedes perder más del 100% de tu poder de compra por muy alto que suban los precios, mientras que la subida de precios no tiene techo alguno. Las dos columnas no son dos vistas del mismo número: responden a preguntas distintas.

La última columna es la que conviene llevarse. Un 111,3% acumulado suena violento y un 2,52% anual suena a nada, y son las mismas tres décadas. Las tasas anuales son medias geométricas, así que tampoco se suman: treinta años al 2,52% es 1,0252 elevado a treinta, no 30 × 2,52%.

Quitar un impuesto es dividir

Un recibo dice 110 con un 10% de impuesto incluido. La base no es 110 × 0,9 = 99. Es 110 ÷ 1,1 = 100, y el impuesto son 10. Ese error de una unidad es otra vez el problema de la base: el 10% se aplicó sobre 100, no sobre 110, así que no puedes descontarlo de 110.

La regla se generaliza. Para añadir un tipo, multiplica por 1 + r. Para quitarlo, divide por 1 + r. Multiplicar por 1 − r es otra operación que responde a otra pregunta, y ambas coinciden únicamente cuando r es cero.

Con un 10% el método equivocado se queda un 1% corto en la base. Con el IVA general español del 21% se queda un 4,41% corto: divide 121 bien y la base es 100; multiplícalo por 0,79 y te sale 95,59. Para quien emite facturas a diario, ahí está la diferencia entre unos libros que cuadran y otros que no.

Una sola regla para llevarse

Los porcentajes son razones, y las razones se multiplican. Cuando dos o más variaciones porcentuales caen sobre la misma cantidad, convierte cada una en un multiplicador — bajar un 30% es × 0,7, subir un 30% es × 1,3, sumar un 10% de impuesto es × 1,1 — y luego multiplica la cadena y mira el producto.

Hacerlo así hace que las sorpresas desaparezcan antes de costar nada. Te dice que 0,7 × 1,3 = 0,91, que quitar el impuesto es dividir por 1,1, y que la respuesta nunca depende del orden en que apliques los movimientos. Todo lo anterior es ese único hábito aplicado a cuatro facturas distintas.