هل سباق الكرات قرعة عادلة؟ قِسنا 5000 جولة

القرعة التي تُشاهَد ليست بالضرورة قرعة عادلة

سباق الكرات قرعة مع حكاية. تكتب الأسماء، فتتدحرج الكرات على لوح مزدحم بالمسامير والأذرع الدوارة، وتفوز أول كرة تمرّ من القُمع. لا أحد يجادل في النتيجة، وهذا هو بيت القصيد: رقم يظهر من العدم يترك بابًا للشكّ، أما كرة تتقافز عشر ثوانٍ أمام الجميع فلا.

لكن قابلية المشاهدة ليست دليلًا على العدل. فأخذنا سباق الكرات الموجود في هذا الموقع وأجريناه 5000 مرة والشاشة مطفأة: ألف جولة على كل خريطة من الخرائط الخمس، بثماني كرات في كل جولة.

الخلاصة محرجة قليلًا: المسار غير عادل إلى حدّ بعيد، ومع ذلك تخرج القرعة عادلة. ما بين هاتين الجملتين هو موضوع المقال، وهو معيار يصلح للحكم على أي أداة قرعة عشوائية، لا على هذه وحدها.

كيف يُجرى السباق بلا رسم

النتيجة هنا ليست حركة مرسومة يُختار فائزها مسبقًا. تُسحب بذرة من 32 بت عند البدء، ويعمل مولّد عشوائي محدَّد انطلاقًا منها، والفيزياء نفسها هي القرعة: كل موضع كرة وكل تصادم وكل مركز نهائي يخرج من ذلك الرقم الواحد. أعطِ البذرة نفسها والأسماء نفسها والمسار نفسه لجهاز آخر، فيعيد ترتيب الوصول كما هو.

هذه الخاصية هي ما يجعل القياس ممكنًا. تُزال لوحة الرسم ويُترك حساب الفيزياء، فيصبح سباق يحتاج خمس عشرة ثانية للمشاهدة عملية تنتهي في أجزاء من الألف من الثانية. اللوح 500 في 1240 وحدة، ونصف قطر الكرة 9، والجاذبية تضيف 0.038 لكل خطوة فرعية بأربع خطوات في كل إطار، ومعامل الارتداد 0.5 عن المسامير و0.45 عن الجدران و0.3 بين الكرات. كل الخرائط تنتهي بالقُمع نفسه، وترتيب المرور من فتحته التي عرضها 68 وحدة هو ترتيب الفوز.

سجّلنا رقمًا واحدًا في كل جولة: مسار انطلاق الكرة الفائزة. تُوزَّع الكرات على عرض أعلى اللوح، فترتيب الثماني حسب الموضع الأفقي الابتدائي يعطي المسار الأول في الطرف الأيسر والثامن في الطرف الأيمن.

المسارات غير متكافئة، والفرق ليس طفيفًا

على خريطة العاصفة، وهي الافتراضية، وعبر ألف جولة، لوحٌ منصف يمنح كل مسار نحو 125 فوزًا. هذا ما منحه فعلًا.

المسار الأيمن الأقصى فاز في 44.7% من الجولات، والمسار الثالث في 3.5%. أي 12.8 ضعفًا. وقيمة مربع كاي تساوي 1075.7 مقابل قيمة حرجة 14.07 عند سبع درجات حرية، فلا مجال لتفسير الفرق بالمصادفة.

الخرائط الخمس كلها ترسم الحرف U نفسه: الأطراف تفوز والوسط يخسر، ومساران طرفيان يمثّلان ربع اللوح يستحوذان على ما بين 42.6% و56.3% من الانتصارات.

السبب الملاصقة للجدار، لا الريح

في خريطة العاصفة شريطا ريح جانبية باتجاهين متعاكسين، وكانا المتهم الأول. لكنهما لم يكونا السبب. حذف الريح بالكامل وإعادة 400 جولة أبقى المسار الأيمن على 170 فوزًا مقابل 172 مع الريح، وعكس اتجاه الريح ينقل التحيّز إلى الجهة الأخرى دون أن يقلّصه.

قياس الزمن الذي يحتاجه كل مسار للوصول إلى فتحة القُمع يوضّح ما يجري حقًا.

الكرة المنطلقة من الوسط تستهلك ما يقارب ضِعف الزمن في هبوط اللوح. عليها أن تعبر حقل المسامير مواجهةً، وكل ارتطام يضيف دفعة مماسية عشوائية ترسلها إلى المسمار التالي. أما كرة الطرف فتلامس نهاية كل صفّ فحسب، ومعامل ارتداد الجدار 0.45، وهو منخفض بما يكفي لئلا ترتدّ إلى الحقل، فتنزلق ملتصقة بالجدار. أكثر المسارات مللًا على اللوح هو أسرعها.

هذه خاصية هندسية لا عيب في هذا المسار بعينه. وزّع العوائق داخل مستطيل، فسيجد الوسط عوائق أكثر في متناوله وسيبقى للأطراف طريق مختصر دائمًا. أي قرعة كرات بمسارات ثابتة تحمل هذا التحيّز في مكان ما منها.

ومع ذلك تتساوى الأسماء

هنا ما يُنجي الأداة. الأسماء لا تُوزَّع على المسارات بترتيب كتابتها. تبني الشيفرة مواضع متساوية التباعد، ثم تخلط هذه القائمة، ثم توزّع الأسماء عليها، فالسطر الأول من قائمتك ينطلق من موضع مختلف في كل جولة.

وعدّ الجولات الخمسة آلاف نفسها بحسب موضع السطر في القائمة بدلًا من المسار يغيّر الصورة كليًا. ثمانية أسماء في ألف جولة تتوقع 125 فوزًا لكل منها.

الخرائط الخمس كلها تحت حدّ 14.07. البيانات التي أعطت 1075 بحسب المسار تعطي بين 4.51 و13.76 بحسب الاسم. لم يزُل ظلم المسار، بل صار يوزَّع على شخص مختلف كل مرة، وهذا بالضبط عمل الخلط.

أي أن عدالة سباق الكرات لا تسكن في الكرات، بل في سطر الشيفرة الذي يخلط مواضع الانطلاق. والقاعدة تتعمّم: عند الحكم على أي أداة قرعة، السؤال ليس هل تبدو الآلية محايدة، بل هل يُعاد سحب توزيع المشاركين على المواضع في كل مرة. عجلة بقطاعات مرتبة ترتيبًا ثابتًا ومؤشر يميل إلى قوس معيّن تعاني المشكلة نفسها، ومثلها قرعة السلّم التي يختار فيها كل شخص عموده قبل رسم الخطوط.

اختيار الأول واختيار الأخير يكلّفان زمنين مختلفين

هناك قاعدتان. الفوز للأول ينهي الجولة لحظة عبور أول كرة خطّ النهاية، والخسارة للأخير تنتظر أبطأ كرة. اختيار من يؤدي العقاب يحتاج القاعدة الثانية عادةً، وهي أطول بمرتين إلى ثلاث مرات.

هذه وسائط عند السرعة العادية. زيادة عدد الكرات تُقدّم موعد المركز الأول لا تؤخّره: عشرون كرة على المتاهة تعطي فائزًا في 6.5 ثانية، لأن كثرة الكرات ترفع احتمال أن تجد إحداها مسارًا نظيفًا. أما وصول الجميع فيسير في الاتجاه المعاكس، لأن المنتظَر هو المتأخرات في الخلف.

وبقي قياس نافع لاختيار الخريطة: نسبة المرات التي تفشل فيها أول كرة تدخل القُمع في الفوز، أي معدّل الانقلاب. المتاهة 61.1%، البوابات 47.8%، العاصفة 39.6%، الكرنفال 20.3%، المصنع 16.7%. والكرنفال أكثر المسارات صخبًا بفارق كبير، بمعدّل 106 تصادمات في الجولة مقابل 3 في المتاهة، وهو في الوقت نفسه أكثرها قابلية للتوقّع: نوابضه وأحزمته تهزّ الكرات دون أن تعيد ترتيبها. فإن أردت نتيجة تبقى مجهولة حتى الثانية الأخيرة، فاختر الخريطة الهادئة ذات أنفاق البوابات.

متى تكون العجلة هي الأداة الأنسب

العجلة الدوارة وسباق الكرات ليسا نسختين من شيء واحد. العجلة تسحب رقمًا عشوائيًا واحدًا وتختار قطاعًا ثم تُحرّك المؤشر إليه، فتنتهي في ثانيتين، ولأن للقطاعات عرضًا فهي تقبل الأوزان: أعطِ خيارًا ضِعف القوس يفوز ضِعف المرات. سباق الكرات لا يفعل ذلك، لكنه يعطي ترتيبًا كاملًا من جولة واحدة، وهو المطلوب فعلًا لترتيب العروض أو جدول التنظيف.

اختيار وجبة الغداء عمل العجلة. تحديد من يعرض أولًا أمام ثمانية أشخاص لكل منهم رأي عمل السباق. ومزاوجة الأسماء بالأشياء واحدًا لواحد عمل قرعة السلّم، وتقسيم مجموعة إلى فريقين عمل مولّد الفرق.

حدود يجب قولها بصراحة

البذرة تأتي من مولّد الأرقام العشوائية العادي في المتصفّح، وهو منتظم تقريبًا وليس قويًا تعميًا. يكفي لتحديد من يدفع ثمن القهوة، ولا يكفي لأي موقف يجني فيه المتنبّئ بالنتيجة مالًا. أما السحب على جوائز بمسؤولية قانونية فيحتاج إجراءً يستطيع المشاركون تدقيقه، لا لعبة فيزياء.

وتحيّز المسار المقيس أعلاه حقيقي، فتعامل بحذر مع أي أداة قرعة تُجلس الناس في مواضع ثابتة. هذه الأداة تعيد سحب توزيع المسارات في كل بداية، وهذا وحده سبب عدم وصول التحيّز إلى الأسماء. وما بقي أدبٌ في الاستخدام: اتفقوا على القاعدة قبل التشغيل، وشغّلوا مرة واحدة، وعلى شاشة يراها الجميع، وإذا تكرّر الاسم نفسه فاحذفوا الفائزين من القائمة بدل إعادة السحب حتى تعجبكم النتيجة. العشوائية تتكتّل، وهذا هو شكلها الطبيعي.